武汉市实验学校    周  毅

教学背景：在圆锥曲线基本知识已讲解完的前提下，利用抛物线其中一种标准形式为载体，课后习题变式为突破口，指导学生开展探究式学习。让学生掌握自主学习的方法，即通过做一些题总结提炼出一些有用的解题小结论。同时亦可指导学生对椭圆、双曲线有关性质自主展开类似的研究。

教学目标：掌握抛物线焦点弦的一些重要性质，并能自主研究出一些有用的小结论。

教学难点：学生探究式学习方法运用

教学模式：合作探究式

教学过程：

例：已知抛物线上两点，求证：若直线AB过焦点F，则。

析：从要证的结论你能联想到什么？

从联想到根与系数的关系从而想到联立方程组消，故首先设直线方程再联立求解。

（解答过程略）

第一次探索：上述例题的逆命题是什么？它是真命题吗？

逆命题：已知殷物线上两点，若，则直线AB过焦点F。

容易验证上述例题的逆命题亦是真命题。

因此我们实际上得到了一个充要条件，亦可说得到一个“定理”：已知抛物线上两点，若直线AB过焦点F。

第二次探索：在弦AB过焦点的条件下，我们还可以获得什么结论呢？

（自我发现+合作探究）

提示：弦AB过焦点F的充要条件是否只有一种表达形式呢？在弦AB过焦点F的条件下，我们还可以获得什么结论？联想我们以前做过的有关习题，看看是否能有所收获。

成果1：抛物线上两点，则AB过焦点F的充要条件是。

析：A、B在抛物线上两式相乘，化简即得。

成果 2： 抛物线上两点，若AB过焦点F，则

析：

（运用抛物线的定义进行转换，用我们已证明的成果进行化简）

成果3：抛物线上两点，若AB过焦点F，则

（其中为直线AB的倾斜角）。

析：设AB方程为：利用弦长公式化简即得。

注意一定要验证=90°时，是否满足结论。

第三次探索：焦点弦的性质在实际中有什么应用呢？适当记住某些有用的结论能否帮助我们快速解题或简化解题过程呢？

（利用手头资料查找，小组合作探究）

例：抛物线(p>0)的动弦|PQ|的长为，当PQ中点M到y轴距离最小时，求直线PQ倾斜角。

析：没有指明直线PQ过焦点F，就转化为直线PQ过焦点，再利用焦点弦的性质求解。

∵

∴        

即直线QP过焦点F

又

∴                       

∴

解题反思：此题若用其他方法求解，计算量较大，运用已有成果，能够极大简化计算过程。我们训练的目的是希望大家通过解一个题获得解无数的解题智慧。因此希望大家做题的时候一定注意多总结。

（其他实际应用略，具体强调转化思想，一定要向焦点弦的性质方面转化）

课下探究：1、抛物线其他标准形式有无类似结论呢？若有请列举出来。

          2、椭圆、双曲线有无类似结论呢？

教学后记：

1、在处理第一次探索时，对K不存在时的情形强调的不够深入，要让学生引起足够的重视。同时需要学生学会转化角度思考问题，如该题设直线为的方程形式比直接设直线为形式解题要好，因为它能够能够极大的简化运算过程。

2、在推导AB的弦长公式时应注意将单独拿来考虑、讨论。要让学生牢记斜率不存在时的情形是我们极易忽略掉的，应加强对这方面问题的训练。

3、例题设计时考虑不够周全，动弦字母表示用AB比用PQ好，学生不易弄混p和P。一个是字母P，一个是抛物线参数p。